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ESTIMACIÓN DE LA TENDENCIA EN UNA SERIE TEMPORAL

Una serie temporal, también llamada serie cronológica o serie histórica, puede definirse como una sucesión de observaciones de una variable en distintos momentos del tiempo.

Entre los componentes de una serie temporal encontramos:

-       La tendencia.

-       El factor cíclico.

-       La estacionalidad.

-       El movimiento irregular.

La tendencia es un componente que reviste gran interés, ya que refleja la evolución a largo plazo de la serie histórica.

La obtención de la misma exige disponer de una serie larga y de un cierto número de ciclos completos, para que no se vea influida por la fase del ciclo en que finaliza la serie. Por ejemplo, lo que parece tendencia en una serie mensual de duración 2 años, puede ser parte de un ciclo de 4 años, ciclo que sólo podremos aislar con un mínimo de 12 ó 16 años de observaciones.

Entre los métodos que permiten determinar la tendencia se pueden citar:

-       Método de los puntos medios.

-       Método de las medias móviles.

-       Método analítico de los mínimos cuadrados.

-       Método de las dos medias.

La ventaja de los dos últimos métodos radica en que permiten predecir el comportamiento de la variable Y en el futuro en base a su comportamiento observado, como consecuencia de que, al venir dada la línea de tendencia por una ecuación, es posible extrapolar para distintos valores de la variable T (tiempo). Evidentemente, cuanto más próximo sea el futuro que quiera predecirse, mayor fiabilidad tendrán los valores predichos.

-        MÉTODO DE LAS DOS MEDIAS-.

Este método consiste en separar las observaciones en dos grupos (preferiblemente iguales) y calcular la media aritmética de cada uno de los grupos, obteniéndose así dos puntos. La línea de tendencia se halla entonces haciendo pasar una recta por los dos puntos hallados.

La recta que pase por los dos puntos se determinará analíticamente mediante la expresión general:

          y₂  - y₁

y = -------------- x   (t  - t₁) + y₁

          t₂  - t₁

donde (t₁  ,y₁) y (t₂  ,y₂) son las coordenadas de los dos puntos, respectivamente.

Gráficamente, la línea de tendencia puede hallarse simplemente uniendo los dos puntos por una recta.

Ejemplo:

Imaginemos que disponemos de la siguiente serie temporal, relativa a las matriculaciones de coches en una determinada población en los últimos 10 años.

Vamos a determinar la tendencia de esta serie temporal mediante el método de las dos medias, con la finalidad de obtener una ecuación que nos permita realizar predicciones.

-       El tiempo (años) será la variable T.

-       El número de coches matriculados será la variable Y.

El método de las dos medias nos dice que tenemos que separar las observaciones en dos grupos y calcular la media aritmética de cada uno de ellos.

Procedemos a calcular las medias aritméticas de los dos grupos de observaciones:

Grupo 1:

Grupo 2:

Los dos puntos obtenidos (t₁  ,y₁) y (t₂  ,y₂), serán pues:

(2001, 1.473) y (2006, 2.246,40)

La recta que pase por estos dos puntos se determinará mediante la expresión general:

          y₂  - y₁

y = -------------- x   (t  - t₁) + y₁

          t₂  - t₁

Es decir:

           2.246,40  - 1.473

y =       ----------------------- x   (t  - 2001) + 1.473

            2006  - 2001

y = 154,68 x (t  - 2001) + 1.473

y = 154,68 t  - 309.514,68 + 1.473

y = 154,68 t  - 308.041,68

Esta ecuación es la que nos permitirá hacer predicciones, es decir, obtener el valor estimado del número de coches matriculados (y) para distintos años (t).

Por ejemplo, vamos a hacer una predicción del número de coches matriculados para el año 2015:

y = 154,68 x (2015)   - 308.041,68 = 3.639 vehículos matriculados.

-        MÉTODO ANALÍTICO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS-.

Este método se basa en el criterio de los mínimos cuadrados. Así, una vez representada la serie, se ajustará por dicho método la línea más conveniente, hallándose también la medida de la bondad o representatividad del ajuste correspondiente.

Es éste el método más exacto y, por tanto, el más usado.

En las series temporales, haremos el siguiente cambio de variable (pues los valores de t son correlativos):

-       Si el número de valores de t es impar:  t^´= t – O_t  (donde O_t es el valor central de la serie de valores de t).

-       Si el número de valores de t es par: t^´= 2 x (t – Ö_t) (donde Ö_t es la media de los dos valores centrales de la serie de valores de t).

En ambos casos, los sistemas de ecuaciones normales para ajustar una recta y una parábola, respectivamente, serían:

Ejemplo:

Dada la serie temporal utilizada anteriormente y relativa a las matriculaciones de coches en una determinada población en los últimos 10 años.

Vamos a determinar la tendencia de esta serie temporal mediante el método analítico de los mínimos cuadrados.

Representada la serie temporal, observamos que su tendencia se ajusta a una línea recta. Por otro lado, dado que disponemos de un número par de observaciones, realizaremos el siguiente cambio de variable:

t^´= 2 x (t – Ö_t)

Donde Ö_t  es la media de los dos valores centrales de la serie de valores de t, es decir la media de 2003 y 2004. Por lo tanto:

 Ö_t = 2003,5

A continuación, ajustaremos la recta que representa la tendencia:

Por lo tanto:

a = 1859,7

b = 76,82

La recta será por tanto:  y = 1859,7+ 76,82 t^´

Esta ecuación es la que nos permitirá hacer predicciones, es decir, obtener el valor estimado del número de coches matriculados (y) para distintos años (t^´).

Por ejemplo, vamos a hacer una predicción del número de coches matriculados para el año 2015.  Para ello, efectuaremos el cambio de variable:

t^´= 2 x (t – Ö_t) = 2 x (2015 – 2003,5) = 23

y = 1859,7+ 76,82 x 23 = 3.627 vehículos matriculados.

BIBLIOGRAFÍA:

200 Problemas de estadística descriptiva. E. Casa Aruta. Editorial Vicens Vives